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\chapter{公式推导}

\section{第一章}

附录编号依次编为附录A，附录B。附录标题各占一行，按一级标题编排。每一个附录一般应另起一页编排，如果有多个较短的附录，也可接排。附录中的图表公式另行编排序号，与正文分开，编号前加“附录A-”字样。

{\color{red} 本部分内容非强制性要求，如果论文中没有附录，可以省略《附录》。}


\begin{definition}[向量空间]
  设 $X$ 是一个非空集合，$\mathbb{F}$ 是一个数域 (实数域 $\mathbb{R}$ 或者复数域 $\mathbb{C}$)。如果在 $X$ 上定义了加法和数乘两种运算，并且满足以下 8 条性质：
  \begin{enumerate}
    \item 加法交换律，$\forall~x,y \in X$，$x+y = y+x \in X$；
    \item 加法结合律，$\forall~x,y,z \in X$，$(x+y)+z = x+(y+z)$；
    \item 加法的零元，$\exists~0 \in X$，使得 $\forall~x \in X$，$0+x = x$；
    \item 加法的负元，$\forall~x \in X$，$\exists~-x \in X$，使得 $x+(-x) = x-x = 0$。
    \item 数乘结合律，$\forall~\alpha,\beta \in \mathbb{F}$，$\forall~x \in X$，$(\alpha\beta)x = \alpha(\beta x) \in X$；
    \item 数乘分配律，$\forall~\alpha \in \mathbb{F}$，$\forall~x,y \in X$，$\alpha(x+y) = \alpha x + \alpha y$；
    \item 数乘分配律，$\forall~\alpha,\beta \in \mathbb{F}$，$\forall~x \in X$，$(\alpha+\beta)x = \alpha x + \beta x$；
    \item 数乘的幺元，$\exists~1 \in \mathbb{F}$，使得 $\forall~x \in X$，$1 x = x$，
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{example}[矩阵空间]
  所有 $m\times n$ 的矩阵在普通矩阵加法和矩阵数乘运算下构成一个向量空间 $\mathbb{C}^{m\times n}$。如果定义内积如下：
  %
  \begin{equation}
  \iprod{A}{B} = \mathrm{tr}(B^H Q A) = \sum_{i=1}^{n} b_i^H Q a_i
  \end{equation}
  %
  其中 $a_i$ 和 $b_i$ 分别是 $A$ 和 $B$ 的第 $i$ 列，而 $Q$ 是 Hermite 正定矩阵，那么 $\mathbb{C}^{m\times n}$ 构成一个 Hilbert 空间。
\end{example}

\begin{theorem}[Riesz 表示定理]
  设 $H$ 是 Hilbert 空间，$H^{\ast}$ 是 $H$ 的对偶空间，那么对 $\forall~f\in H^{\ast}$，存在唯一的 $x_f\in H$，使得
  %
  \begin{equation}
  f(x) = \iprod{x}{x_f}, \qquad \forall~x \in H
  \end{equation}
  %
  并且满足 $\|f\|=\|x_f\|$。
\end{theorem}

\begin{proof}
  先证存在性，再证唯一性，最后正~$\|f\|=\|x_f\|$。
\end{proof}